Tobien mal langsam.
Auch wenn deine Diskstation selbst defekt ist so kannst du immer noch die Lizenzen davon retten.
Kannst du dich bitte in dein Synology Konto einloggen und dort die defekte DS sehen?
Wenn ja, dann einfach die Migration durchführen und du hast deine Lizenzen wieder zur Verfügung.
Einloggen in deinen Account:
https://account.synology.com/de
Migrationsablauf:
Du installierst die SS auf deiner neuen Diskstation, du startes SS und im Hauptmenü der SS den Punkt "Lizenzen" auswählen.
Klick auf "Hinzufügen" und gib die Nummern auf deinen vorliegenden Lizenzkarten ein.
SS wird sich melden mit dem Hinweis dass diese Nummern bereits aktiviert wurden.
Folge den Anweisungen und gib als Bestätigung deiner Identität den Nutzernamen und das Kennwort vom Synology Konto ein in welchem deine defekte DS eingetragen war.
Du musst das damals nicht "bewusst" gemacht haben, wenn du während der DSM Einrichten das Konto Synology angelegt hast, so wurde dadurch automatisch auch der Account für dich angelegt.
"Manueller Zugang" ohne DSM, siehe Link oben.
Ansonsten ist es wirklich so, dass zwingend die Rechnung beigelegt werden muss, BEVOR du den Lizencode eingibst kommt dieses Hinweisfenster:

erst nach der Zustimmung durch Anklicken vom Kästchen kannst du den Lizenzcode eingeben.
Aber ebenfalls siehe die Beiträge oben, setz dich noch mal mit dem Support in Verbindung schildere den Sachverhalt und sende Ihnen alle Unterlagen welche du noch hast als Nachweis dass du diese Lizenz ( en ) damals rechtmässig erworben hast.
Nur zur Sicherheit noch mal damit es richtig Verstanden wird/wurde:
Du installierst deine neue Diskstation, du aktivierst auf der neuen Diskstation in deren DSM ein (vielleicht auch neues) Synology Konto.
Du installierst SS auf der neuen Diskstation und gibst dort wie gewohnt im Punkt Lizenzen deine vorliegenden Codes ein.
Synology erkennt diese Codes als "aktiviert" (schon benützt/verwendet) und fragt daher als Kontrolle nach den Zugangsdaten DER ALTEN DEFEKTEN DS! Diese Daten eingeben und danach sollte der Migrationsassistant weiterarbeiten und die Lizenzen von der alten defekten DS auf die neue "übertragen" und somit aktivieren auf der neuen DS.
Wenn du weder Rechnung der Lizenzen, noch Zugangsdaten der alten DS hast, dann wird es schwierig. Dann kann dir nur mehr Synology auf Kulanz helfen.