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Alles in Outlook 2016 verfügbar.
Dann mittels CalDavSynchronizer Outlook zu Contacts repliziert und alles war so wie ich es haben wollte.
Vielen Dank für den Hinweis!
Bei mir lag es vermutlich an einer korrupten cardDAV Datenbank.
Ich habe es jetzt auch mal über den Umweg Outlook probiert.
Alter cardDAV Server über CalDavSynchronizer nach Outlook, von dort dann über CalDavSynchronizer in die neue Synology Contacts App repliziert.
Schon waren alle meine Probleme beseitigt.
Thunderbird CardBook und auch der Zugriff der Fritz!Box auf die neue Contacts App auf der Synology, war auf einmal kein Problem mehr.
Beides hat vorher nicht funktioniert.