Nein, denn sobald Sie den Mailserver erreicht haben, ist es schon zu spät. Das was Du hier ansprichst, muss "sofort" passieren. Es gibt zwar lösungen, welche "in regelmässigen Abständen" archivieren, aber das ist Mist. Kurzum sollte das Konstrukt so aussehen:
<Router/Firewall>-----<Mailgateway/Archivierung>-----<Mailserver>
Die Syno kann dabei auch nur als "Speicher" fungieren, kann aber nicht für die konforme Archivierung sorgen. Viele Hersteller von Archivierungslösungen bieten eben an, dass der "Speicher" halt auch anderweitig im Netz (oder sonstwo) liegen kann. Es gibt einige kostenlose Opensource-Lösungen, die könntest Du Dir mal anschauen. Je nachdem was für ein NAS Du hast, könntest Du dort einen Mini-Server (Virtuelle Maschine) laufen lassen, an welche die Mails zuerst gehen, diese archiviert dann (Ein- UND Ausgang!), heisst kurzum, dass die Syno die Mails auch über diese virtuelle Maschine schicken muss. Somit laufen sämtliche Mails über diese Archivierungs-VM (Speicher kann ja auch eine Freigabe auf der Syno sein) und es ist alles in trockenen Tüchern.
Wenn das zuviel Aufwand sein sollte und die Mails ggf. auch nur via Relay verschickt und via POP3 beim eigentlichen Hoster abgeholt werden, würde ich mich mal direkt beim Hoster nach einer Archivierungsmöglichkeit erkundigen, dann holst Du Dir dieses Problem erst garnicht ins Haus